Cuadro Comparativo de Transformadas

Una vez aceptadas las pruebas de media, variancia, forma e independencia sobre los números aleatorios entre 0 y 1, se puede hacer uso de esos números para generar variables aleatorias con otro tipo de distribución.

Existen varios métodos para generar variables aleatorios

• Métodos de la transformada inversa

• Método convolución

• Método de aceptación y rechazo

• Método directo

Algoritmo

Método de la transformada inversa para variables aleatorias discretas.

1. Generar un número aleatorio R.

2. Si R < p0 hacer X = x0 y terminar.

3. Si R < p0 + p1 hacer X = x1 y terminar.

4. SI R<∑J i=1pj hacer X=xj y terminar.

Si los xi, i ≥ 0, están ordenados de modo que x0 < x1 < x2 < ... y si F denota la función de distribución de X, entonces

En otras palabras, después de generar un número aleatorio R determinamos el valor de X hallando el intervalo (FX (xj−1), FX (xj)) en el que está R (o, de forma equivalente hallando la inversa de FX (R)). Es por esta razón que el anterior se llama método de la transformada inversa discreta para generar X.

Distribución exponencial

Se desea simular una variable aleatoria con distribución exponencial; la función de densidad es

La distribución acumulada de esta función de 0 a un valor x es:

Igualando la función acumulada F(x) al número aleatorio ri y encontrado la transformada inversa (despejando x) se obtiene:

Distribución uniforme general (a, b)

Se desea simular números aleatorios con distribución uniforme entre a y b; la función de densidad es:

La distribución acumulada de esta función de 0 a un valor x es:

Igualando la acumulada de la función f(x) al número aleatorio ri y encontrado la

transformada inversa (despejando x) se obtiene:

Distribución normal

La más conocida y más ampliamente utilizada distribución de probabilidad es sin duda la distribución normal y su popularidad se debe cuando menos a dos razones que presentan sus propiedades generales.

La distribución normal basa su utilidad en el teorema del límite central. Este teorema postula que, la distribución de probabilidad de la suma de N valores de variables aleatorias xi independiente pero idénticamente distribuidos, con medias respectivas µi y variancias σ2 i se aproxima asintóticamente a una distribución normal, a medida que N se hace muy grande, y que dicha distribución tiene como media y varianzas respectivamente, a:

Si la variable aleatoria X tiene una función de densidad fX (x) dada como

con σx positiva, entonces se dice que X tiene una distribución normal o Gaussiana, con parámetros µx y σx. Si los parámetros de la distribución normal tienen los valores de µx = 0 y σx = 1, la función de distribución recibirá el nombre de distribución normal estándar, con función de densidad:

Cualquier distribución normal se puede convertir a la forma estándar, mediante la siguiente sustitución

El procedimiento para simular valores normales utilizando computadoras requiere el uso de la suma de K valores de variable aleatoria distribuidos uniformemente; esto es, la suma de r1, r2, ..., rK, con cada ri definida en el intervalo 0 < r1 < 1. As´ı, tenemos:

Pero, por dentición, z es un valor de variable aleatoria con distribución normal estándar que se puede escribir en la forma sugerida por la ecuación, donde x es un valor de variable aleatoria distribuido en forma normal que se va a simular, con media µx y varianza σx^2

y resolviendo para x, tenemos que

Por lo tanto, mediante la ecuación podemos proporcionar una formulación muy simple para generar valores de variable aleatoria normalmente distribuidos, cuya media sea igual a µx y varianza σx^2. Para generar un solo valor de x (un valor de variable aleatoria con distribución normal) bastara con sumar K números aleatorios definidos en el intervalo de 0 a 1.

Distribución de Erlang

En estadística y simulación la distribución Erlang, también llamada distribución de Erlang, es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros k y θ cuya función de densidad para valores x > 0 es

La distribución Erlang es el equivalente de la distribución gamma con el parámetro y λ = 1 / θ. Para k = 1 eso es la distribución exponencial.

Una variable X sigue una distribución Erlang(n, λ) si X es la suma de n variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas Exp(λ). Consecuentemente, podemos aplicar el método de convolución para generar valores de esta distribución.

Puesto que la distribución Erlang es un caso particular de la distribución Gamma, también se pueden utilizar los métodos específicos de generación de dicha distribución.

Distribución binomial

Este modelo estocástico también se puede aplicar al proceso de muestreo aleatorio con reemplazo, cuando los elementos muestreados tienen solo dos tipos de atributos (por ejemplo si y no, o respuestas como defectuoso o aceptable). El diseño de una muestra aleatoria de n elementos es análoga a n ensayos independientes de Bernoulli, en los que x es un valor binomial que está denotando al número de elementos de una muestra de tamaño n con atributos idénticos. Es ´esta la analogía que sitúa la distribución binomial como uno de los modelos más importantes en las ´áreas del muestreo estadístico y del control de calidad.

La distribución binomial proporciona la probabilidad de que un evento o acontecimiento tenga lugar x veces en un conjunto de n ensayos, donde la probabilidad de ´éxito está dada por p. La función de probabilidad para la distribución binomial se puede expresar de la manera siguiente:

donde x se toma como un entero definido en el intervalo finito 0, 1, 2, ..., n, y al que se le asocia el valor q = (1−p). El valor esperado y la varianza de la variable binomial X son

Cuando se conoce la media y la varianza, resulta inmediata la determinación de p y de n, las cuales pueden calcularse como sigue:

Los valores de variable aleatoria con distribución binomial se pueden generar de muy diversos modos, aunque uno de los métodos más simples, que en el caso de que el valor de n sea moderado resulta uno de los métodos más eficientes, es el basado en la reproducción de ensayos de Bernoulli, siguiendo el método de rechazos.

Para cada número aleatorio ri (1≤i≤n) se efectúa una prueba y la variable xi se incrementa de acuerdo con el siguiente criterio:

Después de haberse generado n números aleatorios, el valor de xn será igual al valor de la variable aleatoria con distribución binomial x. Este procedimiento se puede repetir tantas veces como valores binomiales se requieran.

ALGORITMO DISTRIBUCION BINOMIAL

1.- Método de la transformada cuantil.

Algoritmo

1.- Generar valores de uk uniformes cero-uno mediante cualquier método conocido.

2.- Asignar a x el valor k si

2.-Usando una expresión recursiva para la f.m.p. Para generar valores de esta variable utilizamos la siguiente relación

Algoritmo

1.-Generar valores ui unifromes cero-uno mediante cualquier conocido.

2.-K=0, P=(1-p)^n=F

3.-Si ui<F entoces x=k y parar. En otro caso ir paso 4.

4.-Hacer

Notemos que el número medio de comparaciones para generar valores de esta variable es np+1.

Distribución de Poisson

Si tomamos una serie de n ensayos independientes de Bernoulli, en cada uno de los cuales se tenga una probabilidad p muy pequeña relativa a la ocurrencia de un cierto evento, a medida que n tiende al infinito, la probabilidad de x ocurrencias está dada por la distribución de Poisson:

Siempre y cuando permitamos que p se aproxime a cero de manera que se satisfaga la relación λ = np consistentemente.

Para simular una distribución de Poisson con parámetro λ, nos podemos servir ventajosamente de la relación conocida entre las distribuciones exponenciales y de Poisson. Se puede justificar que si 1) el número total de eventos que ocurren durante un intervalo de tiempo dado es independiente del número de eventos que ya han ocurrido previamente al inicio del intervalo y 2) la probabilidad de que un evento ocurra en el intervalo de t a t + ∆t es aproximadamente t∆t para todos los valores de t, entonces: a) la función de densidad del intervalo t entre las ocurrencias de eventos consecutivos es f (t) = λe−λt, y b) la probabilidad de que ocurran x eventos durante el

tiempo t es:

Para toda x y toda t. En términos matemáticos el valor poissoniano x se determina haciendo uso de las siguientes desigualdades:

Donde los valores de la variable aleatoria ti se generan por medio de la fórmula:

con una media unitaria.

ALGORITMO DISTRIBUCION POISSON

1.- Método de la transformada cuantil.

Algoritmo

1.- Generar valores de uk uniformes cero-uno mediante cualquier método conocido.

2.- Asignar a x el valor k si

2.-Usando una expresión recursiva para la f.m.p. Para generar valores de esta variable utilizamos la siguiente relación.

Algoritmo

1.- Generar valores ui uniformes cero-uno mediante cualquier método conocido.

2.- k = 0, P = e^−λ = F

3.- Si ui < F entonces x = k y parar. En otro caso ir al paso 4.

4.- Hacer P = λ /k+1 P, F = F + P y k = k + 1 y volver al paso 3

Notemos que el número medio de comparaciones para generar valores de esta variable es λ + 1.