Números pseudoaleatorios y sus característica

¿Define qué son los números pseudoaleatorios y anota el por qué se les da ese nombre?

Como sabemos, la computadora es una herramienta precisa, que efectúa operaciones que no son en absoluto aleatorias. Así no es posible que el ordenador realice una generación puramente aleatoria. Para poder implementar la función rand (y otras parecidas) se desarrollaron métodos que generan números que “parecen” aleatorios. Por ello, los números generados por rand se denominan pseudoaleatorios.

Cuando tenemos la necesidad de simular algún fenómeno estocástico (basado en probabilidades) posiblemente habrá que recurrir a los números pseudoaleatorios. Estos números son generados por rutinas que intentan reproducir la propiedad estadística de que cualquiera de ellos tiene misma probabilidad de ocurrencia. Lo de pseudoaleatorio proviene del hecho de que la serie siempre será igual cuando se utiliza el mismo número generador ó semilla (seed en inglés). No obstante, uno de los principales obstáculos que se les presenta a los programadores es que las rutinas deben producir una serie lo suficientemente larga para los propósitos que se requieran, es decir, que no sean cíclicos.

Estos números pseudoaleatorios, al igual que las probabilidades, están comprendidos entre 0 y 1. Sin embargo, para algunos propósitos especiales podemos requerir que ellos presenten, adicionalmente, la propiedad de tener media 0 (cero) y varianza 1. Supongamos que queremos generar una secuencia de lluvia. Primero, debemos escoger un modelo estadístico para ello. Estos modelos estadísticos se basan en cadenas de Markov donde la probabilidad de ocurrencia de la precipitación depende de si los días anteriores fueron lluviosos ó no. Sin entrar en las dificultades propias de como encontrarlas diremos, por ahora, que las probabilidades de día húmedo (lluvioso) corresponden a un número entre 0 y 1 y sus valores serán más elevados mientras más lluvioso sea el mes del año al cual hagamos referencia.

Por tanto, los meses secos tendrán probabilidades de día húmedo muy bajas y el sentido común nos señala que la mayoría de los números pseudoaleatorios generados en estos casos serán mayores. En consecuencia, las rutinas para generar las secuencias deben comparar el número pseudoaleatorio producido con la probabilidad mensual de día húmedo y si es mayor que ésta entonces el día será seco (se le asigna un cero). En caso contrario el día será húmedo (se le asigna un 1).

¿Cuáles son las características que deben de cumplir los métodos de generación de números pseudoaleatorios?

Un generador de numero aleatorios es un algoritmo que produce secuencias de números que sigan una distribución de probabilidad específica y tienen la apariencia de aleatoriedad.

La referencia a secuencias de números aleatorios significa que el algoritmo produce muchos números aleatorios en serie

La secuencia de números generados debe cumplir con los 2 hipotesis siguientes :

1. Distribución Uniforme

2. Independencia (no correlacionados)

Además son importantes los siguientes aspectos

1. Las subsecuencias también deben cumplir 1) y 2)

2. Deben ser secuencias largas y sin huecos (densas)

3. Algoritmo rápidos y que no ocupen mucha memoria.

Cualquier que sea el método para generar números aleatorios debe satisfacer las siguientes condiciones:

Deben ser:

1.-Uniformemente distribuido

2.-Estadisticamente independientes

3.-Reproducciones

4.-Sin repetición dentro de una longitud determinada de la sucesión

5.-Generacion a grandes velocidades

6.-Requierir el mínimo de capacidad de almacenamiento

Define qué es Método de Montecarlo e indica los pasos para realizar simulación por dicho método.

Método Montecarlo

El método de Monte Carlo es un método no determinístico o estadístico numérico usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. EL modelo se llamó así en referencia al casino de Montecarlo (Principado de monaco9 por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador siempre de números aleatorios El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora.

El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación , proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la segunda guerra mundial en los átomos. Este trabajo conlleva la simulación de problemas de probalisticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fusión, la cual posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmos de trazado de rayos para la generación de imágenes sintéticas.

Los primeros experimentos de simulación se realizaron en el año 1940 en EEUU bajo el nombre de análisis MonteCarlo. Los pioneros fueron Von Neumann y Ulam que publicaron un artículo intitulado “The MonteCarlo method” en 1949.

El método en si ya era conocido en estadística, disciplina donde muchos problemas se resuelven utilizando muestras aleatorias (de hecho, aplicando este método).

Entonces podemos definir el método MonteCarlo como el método numérico de simulación que permite resolver problemas matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias.

Hay algunas aplicaciones informáticas específicas, como es el caso del programa "@Risk" de Palisade, o el "Cristal Bowl", que permiten tener en cuenta la correlación existente entre las variables, y realizar el análisis del riesgo en la valoración de proyectos de inversión utilizando la simulación de Monte Carlo.

La aplicación del método de Monte Carlo para valorar inversiones plantea dos aspectos fundamentales; la estimación de las variables y la determinación del tamaño de la muestra.

La estimación de las variables

Para la aplicación de la simulación de Monte Carlo se han de seguir los siguientes pasos:

1.- En primer lugar hay que seleccionar el modelo matemático que se va a utilizar, siendo en el caso de la valoración de proyectos de inversión los más habituales el Valor Actual Neto (VAN), y la Tasa Interna de Rentabilidad (TIR). Según el valor obtenido para estos métodos de valoración se tomará la decisión de si el proyecto es rentable y se lleva a cabo, o no. Z = f(x), donde "x" es la variable desconocida a simular.

2.- A continuación habrá que identificar las variables cuyo comportamiento se va a simular (x). Es decir, aquellas que se consideran que no van a tomar un valor fijo, sino que pueden tomar un rango de valores por no tratarse de variables ciertas, así como las relaciones que existen entre ellas (por lo que sería deseable definir los coeficientes de correlación existentes entre las variables (posibilidad que ofrece el programa "@Risk"). Si no se tuvieran en cuenta dichas interrelaciones, y se simularan las variables de forma independiente, se estaría incurriendo en un error en los resultados obtenidos, y se reduciría la variabilidad de los resultados al tener lugar el efecto de compensación en la interacción de las variables.

3.- Una vez identificadas las variables que se van a simular, hay que determinar la función de densidad de probabilidad f(x) asociada a cada una de ellas.

4.- Posteriormente, se obtendrán las funciones de distribución asociadas a las variables (o variable).

5.- A continuación se procede a la generación de números aleatorios (números tomados al azar) comprendidos entre cero y uno. Estos números pueden obtenerse utilizando un ordenador, siendo necesarios tantos como variables se consideren en el modelo multiplicado por el número de simulaciones que se deseen realizar.

6.- Una vez se dispone de los números aleatorios, éstos se llevan sobre el eje de ordenadas, y se proyectan horizontalmente sobre las correspondientes funciones de distribución F(x) de las variables (o la variable) del modelo.

7.- El valor así calculado de "x" será el primer valor de la muestra simulada.

8.- Este proceso habrá de repetirse el número de veces necesario para poder disponer del número adecuado de valores muestrales.

9.- A continuación, se sustituyen los valores simulados en el modelo matemático para ver el resultado obtenido para las simulaciones realizadas. En el caso del análisis de proyectos de inversión en los que se utiliza como método de valoración el VAN, hay que tener en cuenta que la tasa de descuento a utilizar en las simulaciones es la tasa libre de riesgo, porque en caso contrario se estaría penalizando doblemente al proyecto de inversión, tanto en el numerador como en el denominador por el riesgo. No obstante, en contra de esta posición que es la que se utiliza habitualmente en la práctica empresarial, se encuentra la de los autores Brealey y Myers, quienes limitan la utilidad de la simulación de Monte Carlo a la mejor estimación de los flujos netos de caja, y proponen aplicar para el descuento de los mismos la tasa de descuento ajustada por el riesgo, y no la tasa libre de riesgo, porque consideran que hay un único VAN.

10.- Posteriormente, se agrupan y clasifican los resultados. Se comparan los casos favorables, con los casos posibles, y se agrupan por categorías de resultados.

11.- Para finalizar, se lleva a cabo el análisis estadístico y de inferencia sobre el comportamiento de la realidad, siendo interesante calcular la media, la varianza y la desviación típica. Por ejemplo, en la valoración de proyectos de inversión, es habitual llevar a cabo el análisis de la viabilidad de un proyecto de inversión analizando la probabilidad de que el Valor Actual Neto (VAN) sea positivo (P(VAN>0)), así como el análisis de sensibilidad con el objetivo de identificar aquellas variables que son consideradas críticas por tener mayor impacto sobre el VAN.